简单的说熵是衡量我们这个世界中事物混乱程度的一个指标,热力学第二定律中认为孤立系统总是存在从高有序度转变成低有序度的趋势,这就是熵增的原理。

熵增与我们正常认为的方向是相反的,比如汽油燃烧,或者电能消耗等都是熵增的行为,从有序的能源,一部分转成了我们所需要的机械能,另一部分则转换成了再也无法利用废热散发到空中,获得了热能的空气或者其他物体,熵会减小….但随着这些热量的散失,逐渐增加并且处于稳定状态!

1.1 熵的引入

事实上,熵的英文原文为entropy,最初由德国物理学家鲁道夫·克劳修斯提出,其表达式为:

它表示一个系系统在不受外部干扰时,其内部最稳定的状态。后来一中国学者翻译entropy时,考虑到entropy是能量Q跟温度T的商,且跟火有关,便把entropy形象的翻译成“熵”。

我们知道,任何粒子的常态都是随机运动,也就是”无序运动”,如果让粒子呈现”有序化”,必须耗费能量。所以,温度(热能)可以被看作”有序化”的一种度量,而”熵”可以看作是”无序化”的度量。

如果没有外部能量输入,封闭系统趋向越来越混乱(熵越来越大)。比如,如果房间无人打扫,不可能越来越干净(有序化),只可能越来越乱(无序化)。而要让一个系统变得更有序,必须有外部能量的输入。

1948年,香农Claude E. Shannon引入信息(熵),将其定义为离散随机事件的出现概率。一个系统越是有序,信息熵就越低;反之,一个系统越是混乱,信息熵就越高。所以说,信息熵可以被认为是系统有序化程度的一个度量。

1.2 熵的定义

下面分别给出熵、联合熵、条件熵、相对熵、互信息的定义。

熵:如果一个随机变量X的可能取值为X = {x1, x2,…, xk},其概率分布为P(X = xi) = pi(i = 1,2, …, n),则随机变量X的熵定义为:

把最前面的负号放到最后,便成了:

上面两个熵的公式,无论用哪个都行,而且两者等价,一个意思(这两个公式在下文中都会用到)。

联合熵:两个随机变量X,Y的联合分布,可以形成联合熵Joint Entropy,用H(X,Y)表示。

条件熵:在随机变量X发生的前提下,随机变量Y发生所新带来的熵定义为Y的条件熵,用H(Y|X)表示,用来衡量在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。

且有此式子成立:

H(Y|X) = H(X,Y) – H(X),整个式子表示(X,Y)发生所包含的熵减去X单独发生包含的熵。至于怎么得来的请看推导:

简单解释下上面的推导过程。整个式子共6行,其中

第二行推到第三行的依据是边缘分布p(x)等于联合分布p(x,y)的和;

第三行推到第四行的依据是把公因子logp(x)乘进去,然后把x,y写在一起;

第四行推到第五行的依据是:因为两个sigma都有p(x,y),故提取公因子p(x,y)放到外边,然后把里边的-(log p(x,y) – log p(x))写成- log (p(x,y)/p(x) ) ;

第五行推到第六行的依据是:条件概率的定义p(x,y) = p(x) * p(y|x),故p(x,y) / p(x) = p(y|x)。

相对熵:又称互熵,交叉熵,鉴别信息,Kullback熵,Kullback-Leible散度等。

设p(x)、q(x)是X中取值的两个概率分布,则p对q的相对熵是:

在一定程度上,相对熵可以度量两个随机变量的“距离”,且有D(p||q) ≠D(q||p)。另外,值得一提的是,D(p||q)是必然大于等于0的。

互信息:两个随机变量X,Y的互信息定义为X,Y的联合分布和各自独立分布乘积的相对熵,用I(X,Y)表示:

且有I(X,Y)=D(P(X,Y) || P(X)P(Y))。下面,咱们来计算下H(Y)-I(X,Y)的结果,如下:

通过上面的计算过程,我们发现竟然有H(Y)-I(X,Y) = H(Y|X)。故通过条件熵的定义,有:H(Y|X) = H(X,Y) – H(X),而根据互信息定义展开得到H(Y|X) = H(Y) – I(X,Y),把前者跟后者结合起来,便有I(X,Y)= H(X) + H(Y) – H(X,Y),此结论被多数文献作为互信息的定义。

理论上理解熵增会让系统处在更加稳定的状态,而这个稳定不是我们一般意义上理解的稳定运行的概念,而是一种“死亡”的状态,我们的宇宙也是这样,从一个奇点暴涨成我们今天的宇宙:

从天体的进程中来理解,天体的形成熵是减小的,而随着超新星爆发扩散成星云物质,熵值是增加的,而未来的二代恒星重新从星云中形成,那么熵又开始减小,二代恒星超新星爆发….那么其熵值又是增加的,到了后来这些爆发的的星云物质再也无法形成新的天体,而且也在漫长的过程中温度逐渐降低最终和宇宙微波背景温度一致,那么其熵值增加到最高……如果宇宙中再也没有新的天体形成,星星点点的红矮星烧完之后,我们的宇宙进入热寂,也就是死亡时代!

从这个物质的发展过程中,熵值会增加也会减小,但总的趋势是增加,而且这个在理论上来可逆,但这有一个前提条件,就是宇宙未来的膨胀是会停止并且重新走向坍缩!最终回到奇点重新开始新一轮的宇宙!不过这只是我们宇宙未来一个走向的猜测,但似乎从现在看来,并不会有这个趋势,宇宙正在暗能量的作用下走向无限膨胀直至宇宙的尽头–无限的死亡,永远不会再重启!

分类: 热力学

天渊应龙圣神大帝-道锋潜鳞

天渊应龙圣神大帝-道锋潜鳞

一人自负一阴阳,混沌分开气升降。炼阴仙客解冲虚,凡骨尤能化百族。雷域龙神启太元,天清升仙出浩渊。

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